Sabtu, 07 Juli 2012

Menuju Ke Abstrak

-->
    Pemahaman akan pengertian abstrak sepertinya masih dianggap sebagai suatu yang sulit bahkan tak teraplikasi. Bagi orang di pinggir jalan, boleh jadi menganggap orang yang belajar matematika abstrak sebagai orang sinting.
     Saatnya kita harus menguak apa yang dimaksud abstrak dalam matematika? Apakah suatu yang tidak real? Hanyakah ngoyoworo ataukah hanyakah khayalan orang? Apakah seperti aljabar abstrak itu suatu yang mengada-ada saja ataukah memang harus menuju ke situ?

    Berikut semoga bisa memberi gambaran akan pemahaman tersebut. Sebagai langkah-langkah sebelum ke abstrak, kita berkecimpung dengan aritmatika yang di dalamnya ada proses seperti penjumlahan, perkalian, dan ada penggunaan variabel. Pengenalan abstrak di SMA biasanya dimulai dengan pelajaran induksi matematik dimana harus membuktikan keteraturan sampai tak hingga dengan membuktikan implikasi  Pk--->Pk+1 dan membuktikan P0 benar.
     Waktu kita melangkah dari perhitungan dasar ke penggunaan variabel, kita meluaskan orientasi kepada cakupan perhitungan yang lebih luas. Kita bisa mengoperasikan bilangan-bilangan tanpa mengetahui berapa bilangannya, cukup dengan variabel. Nah ini, dari aritmatika menuju abstrak yang banyak membuat kepala para mahasiswa sakit, sebenarnya juga merupakan perluasan orientasi menuju semakin beragam dan semakin luas. Kita mulai dengan mempelajari sekelompok obyek, lalu interaksi antar obyek, yang lalu kita namakan operasi biner, mempelajari keteraturannya, mempelajari ciri-cirinya, lalu memformulasikannya menjadi aksioma-aksioma.

     Contoh di bawah mungkin bisa menjadi bayangan akan langkah tersebut, kita mulai dengan PENGANTAR TEORI BILANGAN.

Subgroup bilangan bulat
Kita perhatikan perhatikan himpunan bilangan bulat (integer), yaitu {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} yang lalu biasa dinotasikan dengan Z. < huruf Z ini adalah diambil dari singkatan Zahl=bilangan dari Bhs Jerman>
Diberikan suatu himpunan bagian dari Z, katakanlah himpunan S. Himpunan S disebut subgroup dari Z jika memenuhi :
(i) x+y anggota dari S untuk setiap x dan y anggota dari S,
(ii) 0 anggota dari S,
(iii) -x anggota dari S untuk setiap x anggota dari S.
< catatan : Kalau pernah mempelajari tentang teori group, maka syarat-syarat di atas tidak lain sifat tertutup(i), ada elemen identitas(ii), dan untuk setiap anggota dari S yang bukan 0 punya invers. Di kasus bilangan bulat ini sifat asosiatif bisa dirunut dg mudah dari sifat tertutup >
Suatu himpunan bagian tak kosong S dari Z adalah subgroup jika dan hanya jika x - y anggota dari S untuk setiap x dan y anggota dari S.
Bukti :
S subgroup dari Z ==> x - y anggota S untuk setiap x,y anggota S
Karena y anggota dari S, maka -y anggota dari S
Karena x dan -y anggota dari S, maka x+(-y)=x-y anggota dari S
x - y anggota S untuk setiap x,y anggota S ==> S subgroup dari Z
Karena S tak kososng maka ada anggotanya, misalkan x anggota dari S, maka x-x=0 adalah anggota dari S , jadi 0 dan x anggota dari S sehingga 0-x=-x anggota dari S , lalu jika x dan y anggota dari S, sehingga -y anggota dari S, lalu x-(-y)=x+y anggota dari S . Terbukti.
Taruhlah m adalah bilangan bulat, dan kita buat notasi mZ={mn|n anggota Z}. Maka mZ adalah subgroup dari Z.
Teorema I
Jika S adalah saubgroup dari Z, maka S = mZ untuk suatu bilngan bulat tak negatif m. < dengan kata lain, teorema ini mengatakan bahwa kalau S adalah subgroup dari Z, maka pasti berbentuk himpunan kelipatan dari suatu bilangan bulat tak negatif {0,1,2,3,...} >
Bukti :
Kita buat dua kemungkinan, yaitu :
pertama --> jika S = {0}, maka dapat ditulis S=mZ dengan m=0.
kedua --> jika S tidak sama dengan {0}, atau S memuat bilangan bulat tak nol. Maka tentunya S memuat bilangan bulat positif < karena jika x anggota S maka -x juga anggota S >. Kita ambil misalnya m adalah bilangan bulat positif yang terkecil di S. Lalu suatu bilangan bulat positif n di S akan dapat ditulis dalam bentuk n=qm+r, dimana q adalah suatu bilangan bulat positif dan r suatu bilangan bulat yang memenuhi 0<=r. Dengan demikian r juga anggota S, karena r=n-qm. Karena diasumsikan m adalah yang terkecil, maka haruslah r=0. Jadi n=qm, dengan demikian n anggota mZ, yang berarti S=mZ. Terbukti.

Teorema tersebut mengatakan bahwa kalau sebuah himpunan yang anggotanya bilangan-bilangan bulat serta memenuhi tiga aksioma untuk subgroup di atas, maka tentulah anggota-anggota himpunan tersebut berbentuk kelipatan dari suatu bilangan bulat positif.
Faktor Persekutuan Terbesar
Definisi :
Taruhlah a1,a2,...,ar adalah bilangan bulat, yang tidak semuanya nol. Faktor persekutuan dari a1,a2,...,ar adalah suatu bilangan bulat yang membagi habis setiap a1,a2,...,ar. Faktor persekutuan terbesar dari a1,a2,...,ar adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi habis setiap a1,a2,...,ar. Faktor persekutuan terbesar dari a1,a2,...,ar dinaotasikan dengan (a1,a2,...,ar).
Teorema II
Taruhlah a1,a2,...,ar adalah bilangan bulat, yang tidak semuanya nol. Maka ada bilangan-bilangan bulat sebutlah u1,u2,...,ur sedemikian hingga
(a1,a2,...,ar)=a1u1 + a2u2 + . . . +arur
dimana (a1,a2,...,ar) adalah Faktor Persekutuan Terbesar dari a1,a2,...,ar.
Bukti :
Pembuktian teorema ini, pertama kita harus menunjukkan bahwa suatu himpunan S yang anggota-anggotanya berbentuk n1a1 + n2a2 + . . . +nrar dimana n1, n2,..., nr bilangan-bilangan bulat merupakan subgroup dari Z dengan menunjukkan terpenuhinya  3 aksioma di atas. Lalu setelah terbukti, maka karena
S subgroup Z, akan berbentuk mZ. Dengan kata lain bahwa setiap anggota S merupakan kelipatan dari m. Dengan demikian m adalah faktor persekutuan dari a1,a2,...,ar. Karena FPB adalah faktor persekutuan, maka otomatis ada u1,u2,...,ur sehingga (a1,a2,...,ar)=a1u1 + a2u2 + . . . +arur. Terbukti.

    Kiranya, ini bisa menjadi gambaran bahwa yang namanya abstrak bukan suatu yang tidak aplikatif, melainkan adalah perluasan orientasi kita dalam memandang. Memang terlihat lebih sulit, karena kita mencoba menengok yang disebalik dari yang nampak.

     Semoga bermanfaat bagi semuanya.

Oleh:
-->Mtk Kerajaan Mataram

Matematika dan Bilangan Prima




-->
     Bilangan prima adalah dasar dari matematika, termasuk salah satu misteri alam semesta. Tidak pernah terbayangkan oleh manusia sebelumnya, sampai ditemukan bahwa bilangan prima juga merupakan dasar dari kehidupan alam, yang dengan usaha keras ingin dijelaskan oleh ilmu ini dalam sains. Pandangan orang umumnya mengatakan bahwa matematika hanyalah penemuan manusia biasa. Sebaliknya, beberapa pemikir masa lalu - Pythagoras, Plato, Cusanus, Kepler, Leibnitz, Newton, Euler, Gauss, termasuk para revolusioner abad ke-20, Planck, Einstein dan Sommerffeld - yakin bahwa keberadaan angka dan bentuk geometris merupakan konsep alam semesta dan konsep yang bebas (independent). Galileo sendiri beranggapan bahwa matematika adalah bahasa Tuhan ketika menulis alam semesta.
Bilangan Prima dan Rencana Penciptaan
Bilangan prima 1-100

      Salah satu teka-teki lama yang belum sepenuhnya terpecahkan adalah bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... dan seterusnya. Banyak bilangan prima tidak terhingga. Tidak peduli berapa banyak kita menghitung, pasti kita akan menemukan bilangan prima, walaupun mungkin makin jarang_ Hal ini menjadi teka-teki kita, jika kita ingat bilangan ini tidak dapat dibagi oleh angka lainnya. Salah satu hal yang menakjubkan, dalam era komputer kita memberikan kodetifikasi semua hal yang penting dan rahasia, di bank, asuransi, dan perhitungan-perhitungan peluru kendali, security system dengan enkripsi, dalam angka jutaan bilangan-bilangan yang tidak habis dibagi oleh angka lainnya. Ini diperlukan karena dengan penggunaan angka lain, kodetifikasi tadi dapat dengan mudah ditembus.

      Fenomena inilah yang ditemukan ilmuwan dari Duesseldorf (Dr. Plichta), sehubungan dengan penciptaan alam, yaitu distribusi misterius bilangan prima. Para ilmuwan sudah lama percaya bahwa bilangan prima adalah bahasa universal yang dapat dimengerti oleh semua makhluk (spesies) berintelegensia tinggi, sebagai komunikasi dasar antarmereka. Bahasa ini penuh misteri karena berhubungan dengan perencanaan universal kosmos.
Bilangan prima 1-1015


      Bilangan lain yang perlu diketahui adalah sisa dari bilangan prima, yakni bilangan komposit, kecuali angka 1, yaitu 4, 6, 8, 9,10,12,14,15, .... dan seterusnya. Dengan kata lain, bilangan komposit adalah bilangan yang terdiri dari minimal dua faktor prima. Misalnya :


6 = 2 x 3 = 2 . 3
30 = 2 x 3 x 5 = 2 . 3 . 5
85 = 5 x 17 = 5 . 17

Selain itu, dikenal pula bilangan khusus, yang disebut prima kembar, yaitu bilangan prima yang angkanya berdekatan dengan selisih 2. Misalnya :

(3,5)
(5,7)
(11,13)
(17,19)

dan seterusnya.

      Mayoritas ahli astrofisika juga percaya bahwa di alam semesta terdapat  "kode kosmos"  atau yang disebut cosmic code based on this order,  yang dikenal juga sebagai Theory of Everything (TOE), yang artinya terdapat konstanta-konstanta alam semesta yang saling berhubungan berdasarkan perintah pendesain. Sekali perintah tersebut dapat dipecahkan, maka hal ini akan membuka pandangan sains lainnya yang berhubungan.

Misteri Bilangan Nol

     Ratusan tahun yang lalu, manusia hanya mengenal 9 lambang bilangan yakni 1, 2, 2, 3, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kemudian, datang angka 0, sehingga jumlah lambang bilangan menjadi 10 buah. Tidak diketahui siapa pencipta bilangan 0, bukti sejarah hanya memperlihatkan bahwa bilangan 0 ditemukan pertama kali dalam zaman Mesir kuno. Waktu itu bilangan nol hanya sebagai lambang. Dalam zaman modern, angka nol digunakan tidak saja sebagai lambang, tetapi juga sebagai bilangan yang turut serta dalam operasi matematika. Kini, penggunaan bilangan nol telah menyusup jauh ke dalam sendi kehidupan manusia. Sistem berhitung tidak mungkin lagi mengabaikan kehadiran bilangan nol, sekalipun bilangan nol itu membuat kekacauan logika. Mari kita lihat.
Nol, penyebab komputer macet

     Pelajaran tentang bilangan nol, dari sejak zaman dahulu sampai sekarang selalu menimbulkan kebingungan bagi para pelajar dan mahasiswa, bahkan masyarakat pengguna. Mengapa? Bukankah bilangan nol itu mewakili sesuatu yang tidak ada dan yang tidak ada itu ada, yakni nol. Siapa yang tidak bingung? Tiap kali bilangan nol muncul dalam pelajaran Matematika selalu ada ide yang aneh. Seperti ide jika sesuatu yang ada dikalikan dengan 0 maka menjadi tidak ada. Mungkinkah 5*0 menjadi tidak ada? (* adalah perkalian). Ide ini membuat orang frustrasi. Apakah nol ahli sulap?
Lebih parah lagi-tentu menambah bingung-mengapa 5+0=5 dan 5*0=5 juga? Memang demikian aturannya, karena nol dalam perkalian merupakan bilangan identitas yang sama dengan 1. Jadi 5*0=5*1. Tetapi, benar juga bahwa 5*0=0. Waw. Bagaimana dengan 5o=1, tetapi 50o=1 juga? Ya, sudahlah. Aturan lain tentang nol yang juga misterius adalah bahwa suatu bilangan jika dibagi nol tidak didefinisikan. Maksudnya, bilangan berapa pun yang tidak bisa dibagi dengan nol. Komputer yang canggih bagaimana pun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan pembagi angka nol. Komputer memang diperintahkan berhenti berpikir jika bertemu sang divisor nol.

Bilangan nol: tunawisma
     
     Bilangan disusun berdasarkan hierarki menurut satu garis lurus. Pada titik awal adalah bilangan nol, kemudian bilangan 1, 2, dan seterusnya. Bilangan yang lebih besar di sebelah kanan dan bilangan yang lebih kecil di sebelah kiri. Semakin jauh ke kanan akan semakin besar bilangan itu. Berdasarkan derajat hierarki (dan birokrasi bilangan), seseorang jika berjalan dari titik 0 terus-menerus menuju angka yang lebih besar ke kanan akan sampai pada bilangan yang tidak terhingga. Tetapi, mungkin juga orang itu sampai pada titik 0 kembali. Bukankah dunia ini bulat? Mungkinkah? Bukankah Columbus mengatakan bahwa kalau ia berlayar terus-menerus ia akan sampai kembali ke Eropa?
Lain lagi. Jika seseorang berangkat dari nol, ia tidak mungkin sampai ke bilangan 4 tanpa melewati terlebih dahulu bilangan 1, 2, dan 3. Tetapi, yang lebih aneh adalah pertanyaan mungkinkan seseorang bisa berangkat dari titik nol? Jelas tidak bisa, karena bukankah titik nol sesuatu titik yang tidak ada? Aneh dan sulit dipercaya? Mari kita lihat lebih jauh.

     Jika di antara dua bilangan atau antara dua buah titik terdapat sebuah ruas. Setiap bilangan mempunyai sebuah ruas. Jika ruas ini dipotong-potong kemudian titik lingkaran hitam dipindahkan ke tengah-tengah ruas, ternyata bilangan 0 tidak mempunyai ruas. Jadi, bilangan nol berada di awang-awang. Bilangan nol tidak mempunyai tempat tinggal alias tunawisma. Itulah sebabnya, mengapa bilangan nol harus menempel pada bilangan lain, misalnya, pada angka 1 membentuk bilangan 10, 100, 109, 10.403 dan sebagainya. Jadi, seseorang tidak pernah bisa berangkat dari angka nol menuju angka 4. Kita harus berangkat dari angka 1.

Mudah, tetapi salah

     Guru meminta Ani menggambarkan sebuah garis geometrik dari persamaan 3x+7y = 25. Ani berpikir bahwa untuk mendapatkan garis itu diperlukan dua buah titik dari ujung ke ujung. Tetapi, setelah berhitung-hitung, ternyata cuma ada satu titik yang dilewati garis itu, yakni titik A(6, 1), untuk x=6 dan y=1. Sehingga Ani tidak bisa membuat garis itu. Sang guru mengingatkan supaya menggunakan bilangan nol. Ya, itulah jalan keluarnya. Pertama, berikan y=0 diperoleh x=(25-0)/3=8 (dibulatkan), merupakan titik pertama, B(8,0). Selanjutnya berikan x=0 diperoleh y=(25-3.0)/7=4 (dibulatkan), merupakan titik kedua C(0,4). Garis BC, adalah garis yang dicari. Namun, betapa kecewanya sang guru, karena garis itu tidak melalui titik A. Jadi, garis BC itu salah.
   
     Ani membela diri bahwa kesalahan itu sangat kecil dan bisa diabaikan. Guru menyatakan bahwa bukan kecil besarnya kesalahan, tetapi manakah yang benar? Bukankah garis BC itu dapat dibuat melalui titik A? Kata guru, gunakan bilangan nol dengan cara yang benar. Bagaimana kita harus membantu Ani membuat garis yang benar itu? Mudah, kata konsultan Matematika. Mula-mula nilai 25 dalam 3x+7y harus diganti dengan hasil perkalian 3 dan 7 sehingga diperoleh 3x+7y=21.
Selanjutnya, dalam persamaan yang baru, berikan y=0 diperoleh x=21/3=7 (tanpa pembulatan) itulah titik pertama P(6,1). Kemudian berikan nilai x=0 diperoleh y=21/7 = 3 (tanpa pembulatan), itulah titik kedua Q(0, 3). Garis PQ adalah garis yang sejajar dengan garis yang dicari, yakni 3x+7y=25. Melalui titik A tarik garis sejajar dengan PQ diperoleh garis P1Q1. Nah, begitulah. Sang murid telah menemukan garis yang benar berkat bantuan bilangan nol.

     Akan tetapi, sang guru masih sangat kecewa karena sebenarnya tidak ada satu garis pun yang benar. Bukankah dalam persamaan 3x1+7x2=25 hanya ada satu titik penyelesaian yakni titik A, yang berarti persamaan 3x1+7x2 itu hanya berbentuk sebuah titik? Bahkan pada persamaan 3x1+7x2=21 tidak ada sebuah titik pun yang berada dalam garis PQ. Oleh karena itu, garis PQ dalam sistem bilangan bulat, sebenarnya tidak ada. Aneh, bilangan nol telah menipu kita. Begitulah kenyataannya, sebuah persamaan tidak selalu berbentuk sebuah garis.

Bergerak, tetapi diam
     Bilangan tidak hanya terdiri atas bilangan bulat, tetapi juga ada bilangan desimal antara lain dari 0,1; 0,01; 0,001; dan seterusnya sekuat-kuat kita bisa menyebutnya sampai sedemikian kecilnya. Karena sangat kecil tidak bisa lagi disebut atau tidak terhingga dan pada akhirnya dianggap nol saja. Tetapi, ide ini ternyata sempat membingungkan karena jika bilangan tidak terhingga kecilnya dianggap nol maka berarti nol adalah bilangan terkecil? Padahal, nol mewakili sesuatu yang tidak ada? Waw. Begitulah.
Berdasarkan konsep bilangan desimal dan kontinu, maka garis bilangan yang kita pakai ternyata tidak sesederhana itu karena antara dua bilangan selalu ada bilangan ke tiga. Jika seseorang melompat dari bilangan 1 ke bilangan 2, tetapi dengan syarat harus melompati terlebih dahulu ke bilangan desimal yang terdekat, bisakah? Berapakah bilangan desimal terdekat sebelum sampai ke bilangan 2? Bisa saja angka 1/2. Tetapi, anda tidak boleh melompati ke angka 1/2 karena masih ada bilangan yang lebih kecil, yakni 1/4. Seterusnya selalu ada bilangan yang lebih dekat... yakni 0,1 lalu ada 0,01, 0,001, ..., 0,000001. demikian seterusnya, sehingga pada akhirnya bilangan yang paling dekat dengan angka 1 adalah bilangan yang demikian kecilnya sehingga dianggap saja nol. Karena bilangan terdekat adalah nol alias tidak ada, maka Anda tidak pernah bisa melompat ke bilangan 2?

Oleh :  
Yusmichad Yusdja, Staf peneliti pada Pusat Penelitian dan Pengembangan Sosial dan ekonomi Pertanian IPB

Sumber :


Seorang lelaki akan berjuang sekuat tenaga tanpa putus asa hingga takdirnya terungkap ...selamat datang di http://arifcahyadiblog.blogspot.com ... semoga bermanfaat...