Jembatan Königsberg

A. Latar Belakang

Matematika merupakan salah satu alat yang dapat membantu mempermudah pemecahan permasalahan kehidupan sehari-hari. Salah satu cabang Matematika yang bermanfaat membantu memecahkan permasalahan adalah Teori Graf. Teori graf merupakan salah satu bidang Matematika, yang diperkenalkan pertama kali oleh ahli Matematika asal Swiss, Leonardo Euler pada tahun 1736. Ide besarnya muncul sebagai upaya menyelesaikan masalah jembatan Königsberg. Dari permasalahan itu, akhirnya Euler mengembangkan beberapa konsep mengenai teori graf.

Sirkit Hamilton

Kemudian seiring dengan perkembangan bidang komputasi serta dalam hal ini berkembangnya perangkat lunak maupun perangkat keras komputer, teori graf banyak dijadikan model dalam memecahkan masalah yang ada dalam kehidupan kita sehari-hari. Salah satu topik menarik dalam teori graf adalah lintasan dan sirkuit Hamilton. Dalam makalah ini akan dibahas bagaimana graf dapat membantu mengatasi permasalahan transportasi dengan menggunakan aplikasi lintasan Hamilton.
Penyedia jasa pengantar dapat menggunakan metode lintasan terpendek dan persoalan pedagang keliling dalam penghematan bahan bakar dan waktu dalam pengantaran. Kedua metode akan sangat membantu dalam merencanakan lintasan yang akan diambil oleh pengantar .
Pertama kita akan mengambil metode persoalan pedagang keliling untuk mengambil beberapa macam lintasan yang dilewati untuk menyederhanakan persoalan. Hal ini agar kemungkinan lintasan yang akan didapat berkurang, sehingga memudahkan mengambil keputusan dalam pemilihan lintasan. Kedua dengan mengambil metode lintasan terpendek,kita mencoba mengurangi waktu tempuh dan bahan bakar yang digunakan. Hal ini mempertimbangkan aspek banyaknya simpul dan jumlah lintasan yang diambil. Dengan demikian kita bisa menentukan lintasan mana yang akan menghasilkan jarak tempuh terpendek.
Dalam hal ini kita akan banyak menggunakan lintasan Hamilton dalam pembahasan kedua metode yang digunakan. Hal ini karena lintasan Hamilton dianggap lebih cocok untuk mengatasi permasalahan ini. Sebab pada sirkuit Hamilton simpul harus dilalui tepat satu kali. Sesuai dengan apa yang diinginkan oleh layanan jasa pengantar. Dengan menggunakan kedua metode tersebut, kita mendapatkan lintasan yang hanya dilewati sekali dan jarak yang terpendek. Sedangkan daerah lintasan penelitian berada dalam batas jalan lingkar, dan pencarian rute perjalanan tidak memperhitungkan, lebar jalan, rambu-rambu dan lampu-lampu lalu lintas,serta kondisi jalan, dan tidak memungkinkan adanya penentuan satu arah atau dua arah, serta penutupan jalan. Jadi, metode di atas sangat berguna untuk mengurangi pengeluaran bahan bakar, jarak dan waktu tempuh di bidang transportasi khususnya untuk para jasa pengantar.

B. TEORI GRAF

Teori Graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan dalam kehidupan sehari-hari sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Banyak persoalan pada dunia nyatayang sebenarnya merupakan representasi visual dari graf. Contoh salah satu representasi visual dari graf adalah peta. Banyak hal yang dapat digali dari representasi tersebut, diantaranya adalah menentukan jalur terpendek dari satu tempat ke tempat lain, menggambarkan 2 kota yang bertetangga dengan warna yang berbeda pada peta, menentukan tata letak jalur transportasi, pengaturan jaringan komunikasi atau jaringan internet dan masih banyak lagi. Selain peta, masih banyak hal lain dalam dunia nyatayang merupakan representasi visual dari graf.

A. Definisi Graf
Secara matematis, graf didefinisikan sebagai berikut:
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) yang dalam hal ini :
V = himpunan tidak kosong dari simpul - simpul (vertices atau node): {v1,v2,…,vn}
E = himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul: {e1,e2,…,en}
atau dapat ditulis singkat notasi G = (V, E)

B. Jenis-Jenis Graf
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka secara umum graf digolongkan menjadi dua jenis:
1. Graf sederhana (simple graph) adalah graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana.
2. Graf tak-sederhana (unsimple-graph) adalah graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graph).
Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis:
1. Graf berhingga (limited graph) adalah graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya, n, berhingga.
2. Graf tak-berhingga (unlimited graph) adalah graf yang jumlah simpulnya, n, tidak berhingga banyaknya disebut graf tak-berhingga.
Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis:
1. Graf tak-berarah (undirected graph) adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah.
2. Graf berarah (directed graph atau digraph) adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah.
C. Terminologi Dasar
Terdapat beberapa istilah penting yang berkaitan dengan graf. Berikut ini didefinisikan beberapa terminologi yang sering digunakan:
G1 G2 G3
Gambar 2 Graf yang digunakan untuk menjelaskan terminologi pada graf

1. Ketetanggaan (Adjacent)
Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung.
Tinjau graf G1 : simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3,
simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4.

2. Bersisian (Incidency)
Untuk sembarang sisi e = (vj, vk) dikatakan e bersisian dengan simpul vj , atau e bersisian dengan simpul vk

Tinjau graf G1: sisi (2, 3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3,
sisi (2, 4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4,
tetapi sisi (1, 2) tidak bersisian dengan simpul 4.

3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex)
Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.
Tinjau graf G1: simpul 5 adalah simpul terpencil.

4. Graf Kosong (null graph atau empty graph)
Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong (Nn).
Graf N5 :

5. Derajat (Degree)
Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut.
Notasi: d(v)
Tinjau graf G1:
d(1) = d(4) = 2
d(2) = d(3) = 3

Tinjau graf G3: d(5) = 0 ? simpul terpencil
d(4) = 1 ? simpul anting-anting (pendant vertex)

Tinjau graf G2: d(1) = 3 ? bersisian dengan sisi ganda
d(2) = 4 ? bersisian dengan sisi gelang (loop)

Pada graf berarah,
din(v) = derajat-masuk (in-degree)
= jumlah busur yang masuk ke simpul v

dout(v) = derajat-keluar (out-degree)
= jumlah busur yang keluar dari simpul v

d(v) = din(v) + dout(v)

G4 G5

Tinjau graf G4:
din(1) = 1; dout(1) = 1
din(2) = 1; dout(2) = 3
din(3) = 1; dout(3) = 1
din(4) = 2; dout(3) = 0

6. Lintasan (Path)
Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di dalam graf G ialah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2,... , vn –1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ... , en = (vn-1, vn) adalah sisi-sisidari graf G.
Tinjau graf G1: lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan sisi (1,2), (2,4), (4,3).
Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut. Lintasan 1, 2, 4, 3 pada G1 memiliki panjang 3.

7. Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit)
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus.
Tinjau graf G1: 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit.
Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit tersebut. Sirkuit 1, 2, 3, 1 pada G1 memiliki panjang 3.

8. Terhubung (Connected)
Dua buah simpul v1 dan simpul v2 disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v1 ke v2. G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul vi dan vj dalam himpunan V terdapat lintasandari vi ke vj. Jika tidak, maka G disebut graf tak-terhubung (disconnected graph).
Contoh graf tak-terhubung:

Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tidak berarahnya terhubung (graf tidak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya). Dua simpul, u dan v, pada graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarahdari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u. Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tidak berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly coonected). Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graph) apabila untuk setiap pasang simpul sembarang u dan v di G, terhubung kuat. Kalau tidak, G disebut graf terhubung lemah.
graf berarah terhubung lemah graf berarah terhubung kuat

9. Upagraf (Subgraph) dan Komplemen Upagraf
Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf. G1 = (V1, E1) adalah upagraf (subgraph) dari G jika V1 ? V dan E1 ? E.
Komplemen dari upagraf G1 terhadap graf G adalah graf G2 = (V2, E2) sedemikian sehingga E2 = E - E1 dan V2 adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E2 bersisian dengannya.

(a) Graf G1 (b) Sebuah upagraf (c) komplemen dari upagraf (b)
Komponen graf (connected component) adalah jumlah maksimum upagraf terhubung dalam graf G.

Graf G di bawah ini mempunyai 4 buah komponen.

Pada graf berarah, komponen terhubung kuat (strongly connected component) adalah jumlah maksimum upagraf yang terhubung kuat.
Graf di bawah ini mempunyai 2 buah komponen terhubung kuat:

10. Upagraf Rentang (Spanning Subgraph)
Upagraf G1 = (V1, E1) dari G = (V, E) dikatakan upagraf rentang jika V1 =V (yaitu G1 mengandung semua simpul dari G).
(a) graf G, (b) upagraf rentang dari G, (c) bukan upagraf rentang dari G
?
11. Cut-Set
Cut-set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi, cut-set selalu menghasilkan dua buah komponen.

12. Graf Berbobot (Weighted Graph)
Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot).

D. Beberapa Graf Khusus
1. Graf Lengkap (Complete Graph)
Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah n(n – 1)/2.

K1 K2 K3 K4 K5 K6

2. Graf Lingkaran
Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan Cn.

3. Graf Teratur (Regular Graphs)
Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r. Jumlah sisi pada graf teratur adalah nr/2.

4. Graf Bipartite (Bipartite Graph)
Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2 disebut graf bipartit dan dinyatakan sebagai G(V1, V2).

E. Lintasan Terpendek (Shortest Path)
Lintasan terperndek adalah lintasan minimum yang diperlukan untuk mencapai suatu tempat dari tempat tertentu. Lintasan minimum yang dimaksud dapat dicari dengan menggunakan graf. Graf yang digunakan adalah graf yang berbobot, yaitu graf yang setiap sisinya diberikan suatu nilai atau bobot. Dalam kasus ini, bobot yang dimaksud berupa jarak dan waktu kemacetan terjadi.
Ada beberapa macam persoalan terpendek, antara lain :
a. Lintasan terpendek antara dua buah simpul tertentu.
b. Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul.
c. Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul yang lain.
d. Lintasan terpendek antara dua buah simpul yang melalui beberapa simpul tertentu.
Aplikasi persoalan penentuan lintasan terpendek ini banyak sekali kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari :
a. Menentukan rute atau jalur terbaik yang harus ditempuh dari suatu kota untuk menuju ke kota lain.
b. Menentukan jalur komunikasi dua buah terminal komputer.
c. Menentukan jalur penerbangan dunia yang paling efektif untuk dilakukan.
d. Menentukan jarak terpendek/waktu tempuh tersingkat/ongkos termurah antara dua buah kota
e. Menentukan waktu tersingkat pengiriman pesan (message) antara dua buah terminal pada jaringan komputer.
Algoritma Lintasan Terpendek
Algoritma Dijkstra ditemukan oleh Edger Wybe Dijkstra. Algoritma ini merupakan algoritma yang paling terkenal untuk mencari lintasan terpendek. Algoritma Dijkstra diterapkan pada graf berarah, tetapi selalu benar untuk graf tak-berarah.
Algoritma Dijkstra untuk mencari panjang lintasan terpendek dari vertek a ke vertek z di sebuah graf berbobot G = (V, E, W).
1. Pertama-tama misalkan S = {a} dan B = V - {a}. Untuk setiap verteks t di B tentukan, L(t) = W(a,t), (W(a,t) = ? bila (a,t) ? E).
2. Pilih verteks x di B yeng memiliki label terkecil terhadap S.
3. Jika x adalah verteks yang ingin dicapai, yaitu z, maka stop. Jika tidak, bentuk S’ = S ? {x} dan B’ = B - {x}.
Untuk setiap verteks t di B’ tentukan labelnya terhadap S’ dengan rumus
L’(t) = min [L(t), L(x) + W(x,t)]
4. Ulangi langkah 2) dan 3) dengan memakai S’ sebagai S dan B’ sebagai B.
F. Lintasan dan Sirkuit Hamilton
Dalam teori graf, siklus yang menggunakan semua titik dan kembali ke titik semula dikenal dengan siklus Hamilton (Hamilton Cycle). Sedangkan jika semua titik dilewati tepat satu kali tetapi tidak kembali ke titik semula disebut Lintasan Hamilton (Hamilton Path). Graf yang memiliki lintasan atau siklus Hamilton disebut Graf Hamilton sebagaimana disampaikan oleh Sir William Rowan Hamilton pada tahun 1856. Sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.

(a) (b) (c)

Gambar : (a) graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal: 3, 2, 1, 4)
(b) graf yang memiliki lintasan Hamilton (1, 2, 3, 4, 1)
(c) graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton

Teorema Dasar
Teorema 1
Syarat cukup (jadi bukan syarat perlu) supaya graf sederhana G dengan n (? 3) buah simpul adalah graf Hamilton ialah bila derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu, d(v) ? n/2 untuk setiap simpul v di G).
Teorema 2
Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton.
Teorema 3
Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n ? 3), terdapat (n - 1)!/2 buah sirkuit Hamilton.
Teorema 4
Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n ? 3 dan n ganjil), terdapat (n - 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan). Jika n genap dan n ? 4, maka di dalam G terdapat (n - 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas.
Contoh :
Untuk graf G = (V,E) dalam Gambar 10.1, carilah sebuah siklus Hamilton.

Penyelesaian :
Sebuah siklus Hamilton untuk graf G adalah siklus (a, b, c, d, e, f, g, a).
Masalah Perjalanan Wiraniaga
Soal perjalanan wiraniaga berkaitan dengan masalah pencarian siklus Hamilton dengan panjang minimum dalam sebuah graf berbobot G. Jika kita menganggap verteks-verteks dalam graf berbobot sebagai kota dan bobot rusuk sebagai jarak, masalah perjalanan wiraniaga adalah mencari sebuah rute terpendek sehingga wiraniaga tersebut dapat mengunjungi setiap kota satu kali, berawal dan berakhir pada kota yang sama.
Persoalan Perjalanan Pedagang (Travelling Salesperson Problem - TSP)
Diberikan sejumlah kota dan jarak antar kota. Tentukan sirkuit terpendek yang harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal keberangkatan (menentukan sirkuit Hamilton yang memiliki bobot minimum).
Aplikasi TSP:
1. Pak Pos mengambil surat di kotak pos yang tersebar pada n buah lokasi di berbagai sudut kota.
2. Lengan robot mengencangkan n buah mur pada beberapa buah peralatan mesin dalam sebuah jalur perakitan.
3. Produksi n komoditi berbeda dalam sebuah siklus.
Jumlah sirkuit Hamilton di dalam graf lengkap dengan n simpul: (n - 1)!/2.

Graf di atas memiliki (4 – 1)!/2 = 3 sirkuit Hamilton, yaitu:
I1 = (a, b, c, d, a) atau (a, d, c, b, a) ==> panjang = 10 + 12 + 8 + 15 = 45
I2 = (a, c, d, b, a) atau (a, b, d, c, a) ==> panjang = 12 + 5 + 9 + 15 = 41
I3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) ==> panjang = 10 + 5 + 9 + 8 = 32
Jadi, sirkuit Hamilton terpendek adalah I3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) dengan panjang sirkuit = 10 + 5 + 9 + 8 = 32.
Jika jumlah simpul n = 20 akan terdapat (19!)/2 sirkuit Hamilton atau sekitar 6 ? 1016 penyelesaian.

C. APLIKASI TEORI GRAF

a. Metode Pedagang Keliling
Metode ini diambil dari persoalan pedagang keliling yang harus mendatangi setiap kota tepat satu kali. Kota akan kita anggap sebagai tempat tujuan pengantaran, selanjutnya akan kita sebut sebagai simpul. Sedangkan jalan yang bisa dilewati akan kita sebut sebagai sisi. Sisi memiliki jarak tempuh yang kita sebut sebagai bobot. Persoalannya tidak lain adalah menentukan lintasan Hamilton yang memiliki bobot minimum pada graf yang kita dapatkan.
Menurut teori graf, persoalan semacam ini , jika setiap simpul memiliki sisi ke simpul lainnya maka graf ini disebut graf lengkap dengan N buah simpul, maka Sirkuit Hamilton yang kita dapatkan mempunyai rumus:

Rumus ini dihasilkan karena (n-1) untuk simpul pertama, (n-2) untuk simpul kedua, dan seterusnya untuk simpul berikutnya. Dan perlu dibagi dua karena lintasan Hamilton yang terjadi terhitung 2 kali.
A B

D C
Misal pada gambar di atas, jarak A ke B 10, jarak A ke C 12, jarak A ke D 6, Jarak B ke C 5, jarak B ke D 11, jarak C ke D 9. A adalah kantor jasa pengantar, B, C, D adalah tempat tujuan. Lintasan Hamilton ada = 3 sirkuit. Artinya kita mendapatkan 3 lintasan.

Lintasan pertama (A-B-C-D-A) atau (A-D-C-D-A)
A B

D C
Lintasan kedua (A-C-B-D-A) atau (A-D-B-C-A)
A B

D C
Lintasan ketiga (A-C-D-B-A) atau (A-B-D-C-A)
A B

D C
Dari ketiga lintasan yang ada akan menjadi referensi bagi metode selanjutnya.
b. Metode Jarak Terpendek
Pada metode ini yang akan kita gunakan adalah bobot yang ada pada graf tersebut. Kita akan menggunakan algoritma Dijkstra. Algoritma ini juga sudah terkenal diantara teori lintasan terpendek. Dengan pendekatan greedy kita dapat mendapatkan lintasan terpendek dengan membandingkan seluruh lintasan yang kita miliki. Yang perlu diketahui kita menggunakan istilah lintasan untuk mewakili sirkuit Hamilton yang didapat melalui metode sebelumnya.
Dengan melihat gambar lintasan pertama (A-B-C-D-A) atau (A-D-C-D-A)
A 10 B

6 5

D 9 C
Lintasan pertama yaitu (A-B-C-D-A) memiliki jarak tempuh sebesar 10+5+9+6=30
Lintasan kedua (A-C-B-D-A) atau (A-D-B-C-A)
A B
12 11

6 5

D C
Lintasan kedua yaitu (A-C-B-D-A) memiliki jarak tempuh sebesar 12+5+11+6=34
Lintasan ketiga (A-C-D-B-A) atau (A-B-D-C-A)
10
A B
12 11

D C
9
Lintasan ketiga yaitu (A-C-D-B-A) memiliki jarak tempuh sebesar 12+9+11+10=42
Dari ketiga lintasan pilih lintasan (A-B-C-D-A) karena memiliki jarak terpendek dari ketiga lintasasan.

B. Kasus
a. Graf Lengkap
Misalkan ada sebuah perusahaan pengantar bernama PT Antar. Perusahaan tersebut mengantar 4 buah paket ke berbagai tempat. Tempat pertama adalah sebuah rumah di kawasan Pondok Indah yang berjarak 12 dari tempat pengantaran. Tempat kedua adalah sebuah toko di jalan Menteng yang berjarak 15. Tempat ketiga adalah sebuah rumah yang berjarak 24. Tempat keempat adalah rumah yang berjarak 17. Dan setiap tempat memiliki jalan ke tempat lainnya. Jarak antara tempat satu dengan tempat lainnya direpresentasikan dengan kilometer. Dengan representasi gambar didapat graf berbobot sebagai berikut:
A

E B

D C
Anggap kantor PT. Antar sebagai A dan Tempat tujuan sebagai B, C, D, E. Jarak direpresentasikan sebagai sisi.
Dari gambar diketahui jarak dari A ke B adalah 12, dari A ke C adalah 15 dari A ke D adalah 24, dari A ke E adalah 17.
Jarak masing-masing tempat: jarak B ke C adalah 6, jarak B ke D adalah 14, jarak B ke E adalah 13, Jarak C ke D adalah 8, jarak C ke E adalah 11. Jarak D ke E adalah 9.
Dengan metode pertama kita mencari kemungkinan lintasan yang bisa diambil. Dengan rumus (n-1)!/2 = (5-1)!/2 = 12. Jadi ada 12 lintasan. Dengan menggabungkan dengan metode kedua kita bisa mencari jaraknya sekalian.
Dengan menggunakan metode yang sudah ada diatas kita akan mengambil tempat tujuan sebagai sebuah simpul. Masing masing simpul diberi tanda Alfabet. Lalu ambil yang berupa lintasannya saja. Hilangkan sisi yang tidak dilewati. Lalu hitung bobotnya.
Lintasan pertama adalah (A-B-C-D-E-A)
A

E B

D C
Lintasan ini mempunyai panjang 12 + 6 + 8 + 9 + 17 = 52

Lintasan kedua (A-B-C-E-D-A)
A

E B

D C
Lintasan ini mempunyai panjang 12 + 6 + 11 + 9 + 24 = 62
Lintasan ketiga (A-B-E-D-C-A)
A

E B

D C
Lintasan ini mempunyai panjang 12 + 13 + 9 + 8 + 15 = 57

Lintasan keempat (A-B-E-C-D-A)
A

E B

D C
Lintasan ini mempunyai panjang 12 + 13 + 11 + 8 + 24 = 58

Lintasan kelima (A-B-D-C-E-A)
A

E B

D C
Lintasan ini mempunyai panjang 12 + 14 + 8 + 11 + 17 = 62

Lintasan Keenam (A-B-D-E-C-A)
A

E B

D C
Lintasan ini mempunyai panjang 12 + 14 + 9 + 11 + 15 = 61

Lintasan ketujuh (A-C-B-D-E-A)
A

E B

D C
Lintasan ini mempunyai panjang 15+6+14+9+17=61

Lintasan kedelapan (A-C-B-E-D-A)
A

E B

D C
Lintasan ini mempunyai panjang 15 + 6 + 13 + 9 + 24 = 67

Lintasan kesembilan (A-C-D-B-E-A)
A

E B

D C

Lintasan ini mempunyai panjang 15 + 8 + 14 + 13 + 17 = 67

Lintasan kesepuluh (A-C-E-B-D-A)
A

E B

D C

Lintasan ini mempunyai panjang 15 + 11 + 13 + 14 + 24 = 77

Lintasan kesebelas (A-D-B-C-E-A)
A

E B

D C

Lintasan ini mempunyai panjang 24 + 14 + 6 + 11 + 17 = 72

Lintasan keduabelas (A-E-B-C-D-A)
A

E B

D C

Lintasan ini mempunyai panjang 24 + 8 + 6 + 13 + 17 = 68
Dengan mengambil lintasan A-B-C-D-E-A dengan panjang 52 kilometer, kita mendapatkan lintasan yang terpendek

b. Graf Tak Lengkap
Jika graf tak lengkap, maka persoalan tidak bisa diselesaikan dengan rumus (n-1)!/2. Harus dicari sirkuit Hamiltonnya dengan cara manual atau cara biasa. Setelah itu langkahnya tetap sama yaitu dengan membandingkan sirkuit Hamiltonnya. Contoh graf tak lengkap misalnya, PT. Antar harus mengirim paket ke 5 tempat dimana 2 tempat tidak bisa diakses langsung. 2 tempat tersebut hanya bisa diakses melewati 3 tempat lainnya dan antara kedua tempat tadi tidak mempunyai sisi.
Gambar graf dari graf tak lengkap di atas
B C

A D

F E

Jarak A ke B adalah 10, jarak A ke D adalah 20, jarak A ke F adalah 12, jarak B ke C adalah 7, jarak B ke E adalah 15, jarak C ke D adalah 8, jarak C ke F adalah 14, jarak D ke E adalah 9, jarak E ke F adalah 6.
Sekarang kita anggap A sebagai tempat PT. Antar, sedangkan B-F adalah tempat tujuan. Cari sirkuit Hamilton yang ada.
Sirkuit hamiltonnya:
? (A-B-C-D-E-F-A)
? (A-B-C-F-E-D-A)
? (A-B-E-F-C-D-A)
? (A-B-E-D-C-F-A)
? (A-F-E-B-C-D-A)
? (A-F-C-B-E-D-A)
Lalu setelah ada sirkuit Hamiltonnya maka dengan cara yang sama kita buat grafnya menurut sirkuit Hamilton.
Lintasan pertama (A-B-C-D-E-F-A)
B C

A D

F E
Mempunyai panjang lintasan sebesar 10 + 7 + 8 + 9 + 6 + 12 = 52

Lintasan kedua (A-B-C-F-E-D-A)
B C

A D

F E
Mempunyai panjang lintasan sebesar 10 + 7 + 14 + 6 + 9 + 20 = 66
Lintasan ketiga (A-B-E-F-C-D-A)
B C

A D

F E
Mempunyai panjang lintasan sebesar 10 + 15 + 6 + 14 + 8 + 20 = 73
Lintasan keempat (A-B-E-D-C-F-A)
B C

A D

F E
Mempunyai panjang lintasan sebesar 10 + 15 + 9 + 8 + 14 + 12 = 68

Lintasan kelima (A-F-E-B-C-D-A)
B C

A D

F E
Mempunyai panjang lintasan sebesar 12 + 6 + 15 + 7 + 8 + 20 = 68
Lintasan keenam (A-F-C-B-E-D-A)
B C

A D

F E
Mempunyai panjang lintasan sebesar 12 + 14 + 7 + 15 + 9 + 20 = 77

Dengan mengambil lintasan A-B-C-D-E-F-A dengan panjang 52 kilometer, kita mendapatkan lintasan yang terpendek.

Dengan memilih lintasan terpendek maka perusahaan jasa tersebut bisa mengurangi biaya pengeluaran untuk transportasi. Dengan begitu bisa menekan pengeluaran, dari segi bahan bakar. Akan tetapi hal ini masih di luar pertimbangan faktor-faktor yang menghambat perjalanan, seperti lebar jalan, rambu-rambu dan lampu-lampu lalu lintas, serta kondisi jalan, dan tidak memungkinkan adanya penentuan satu arah atau dua arah, serta penutupan jalan
Seperti yang kita ketahui metode pedagang keliling akan mudah dilakukan jika grafnya adalah graf lengkap. Jika tidak lengkap, maka tidak bisa menggunakan rumus (n-1)!/2 untuk menentukan jumlah lintasan. Akan tetapi mencari sirkuit Hamilton masih bisa.
Jika persoalan yang ditemui tidak terdapat sirkuit hamilton maka metode pertama tidak bisa digunakan. Jadi pencarian harus lewat manual.
Aplikasi pada jumlah simpul yang banyak (lebih dari 5) akan membuat manusia sulit dalam menghitungnya. Jadi sebaiknya serahkan penghitungan kepada program komputer.
Persoalan ini juga mengungkap permasalahan transportasi kita. Jika kita mengaplikasikan metode diatas untuk cara kita bepergian, maka kita juga bisa mendapat keuntungan dari penghematan bahan bakar.

DAFTAR PUSTAKA

Anonim, 2008. Algoritma Dijkstra. http://id.wikipedia.org/wiki/. Diakses 5 Desember 2008 pukul 19. 00
Anonim, 2008. Theorygraph http://www.en.wikipedia.org/. Diakses 5 Desember 2008 pukul 19. 00
Munir, Rinaldi. 2006. Matematika Diskrit Edisi Keempat. Bandung. Informatika
Santoso, Judhi S. (1993). Catatan Kuliah Teori Graph dan Aplikasinya. Teknik Informatika, ITB.

Oleh : Muhammad Taqwa, http://yuniedya.yolasite.com/matematika.php

Diperkaya oleh Arif Cahyadi, http://arifcahyadiblog.blogspot.com/

Dua dari tujuh persoalan matematika milenium ini mungkin sudah terpecahkan. Rahasia Poincare Conjecture dan Hipotesis Riemann itu bakal mengubah masa depan. Exeter - Para matematikawan dunia telah berada di ambang solusi dua dari tujuh pekerjaan rumah terbesar milenium ini dalam dunia matematika. Satu persoalan menjanjikan pemahaman tentang hubungan antara bentuk dan waktu. Sementara itu, yang lain bisa jadi berpotensi membawa ancaman bagi dunia keuangan karena mampu memecahkan rahasia-rahasia penyandian. Dua pekerjaan rumah itu adalah tentang Poincare Conjecture - sebuah teorema yang coba menerangkan perilaku bentuk-bentuk multidimensional - dan Hipotesis Riemann, yang mencoba menerangkan pola acak dari bilangan-bilangan prima. Keduanya bersama lima permasalahan lainnya disebut-sebut sebagai "Persoalan Milenium" dan telah ada selama seabad lebih. Empat tahun lalu, yayasan swasta nirlaba Clay Mathematics Institute di Cambridge, Massachusetts, Amerika, telah menawarkan uang senilai US$ 1 juta kepada siapa pun yang dapat memecahkan salah satu dari tujuh permasalahan matematika itu. Ternyata, ada saja yang berhasil, setidaknya berupa klaim, yakni Grigori Perelman, ilmuwan asal Steklov Institute of Mathematics, Rusia, dan Louis de Branges dari Purdue University, Amerika Serikat. Sepertinya mereka bakal muncul sebagai kandidat pertama pemenang sayembara tersebut. Perelman mengklaim berhasil mengungkap masalah Poincare Conjecture, sedangkan de Branges untuk Hipotesis Riemann. Namun, para matematikawan di dunia sepertinya lebih antusias menguji pembuktian yang disodorkan Perelman. Ilmuwan eksentrik Rusia itu mengemukakan dua tahun lalu dan hingga kini masih terus dibuktikan oleh rekan-rekan sejawatnya di seluruh dunia. Keith Devlin, ilmuwan matematika dari Stanford University, Senin lalu, mengemukakan, penundaan dalam menegaskan atau menolak solusi Perelman mengindikasikan betapa kompleksnya permasalahan Poincare Conjecture. Devlin berbicara dalam Festival Ilmiah British Association di Exeter, Inggris. "Banyak pakar berpikir bahwa bukti Grigori Perelman tntang nca Cnjecture adalah tepat, tetapi kelihatannya masih dibutuhkan beberapa bulan lagi sebelum mereka pasti apakah itu benar atau salah", kata Devlin. Devlin sendiri yakin bahwa bukti itu akan terbukti kebenarannya. "Kalaupun tidak, ide-ide baru Perelman yang telah diperkenalkannya masih memiliki banyak percabangan lain yang penting untuk permasalahan yang sama." Permaslahan Poincare Conjecture dimunculkan oleh Henry Poincare, ahli matematika dan fisika asal Perancis yang sangat dikenal di bidang optik, termodinamika, dan mekanika fluida. Dia juga mengerjakan teori-teori relativitas sebelum Einstein. Pada 1904, dia mengeluarkan pertanyaan yang sangat mendasar: apa bentuk dari ruang yang kita tempati ini ? "Begitu Anda masuk ke dalam empat dimensi, Anda berbicara tentang ruang yang tidak dapat Anda visualisasikan. Cara termudah untuk memvisualisasikannya adalah dengan mempelajari apa yang terjadi dengan satu dimensi di dalam permukaan-permukaan dua dimensi", ujar Devlin, yang juga Direktur Eksekutif Pusat Studi Bahasa dan Informasi di Stanford. Teorema yang diciptakan Poincare memang mampu terbukti dalam dunia-dunia imajinasi sehingga obyek-obyek memiliki empat, lima, atau lebih dimensi. Tetapi, tidak dengan tiga dimensi. "Sebuah kasus yang sangat menarik karena kaitannya dengan fisika adalah sebuah kasus ketika Poincare Conjecture belum terpecahkan", Devlin menambahkan. Sementara itu, hipotesis Riemann menerangkan pola bilangan prima yang acak. Bilangan prima itu dianalogikan sebagai atom-atom dari aritmetika, merupakan kunci dari kode penyandian (kriptografi) internet. Bilangan prima menjaga bank tetap aman dan kartu kredit terlindungi. Seluruh e-commerce bergantung kepadanya. Menurut Profesor Marcus Du Sautoy dari University of Oxford, apa yang belum ditemukan para ahli matematika adalah semacam spektrometer bilangan prima matematis. "Ahli kimia memiliki spektrometer, sebuah mesin yang apabila Anda memasukkan sebuah molekul ke dalamnya, mesin akan menginformasikan atom-atom penyusunnya. Ahli matematika belum memiliki mesin seperti itu,. Itulah yang kami cari", Du Sautoy menjelaskan. Hipotesis Riemann, apabila terbukti benar, memang tidak akan menghasilkan semacam spektrometer kimia. Tetapi, bukti yang diberikannya sudah seharusnya memberi pemahaman yang lebih baik tentang bagaimana bilangan prima bekerja. Berbekal pemahaman itu barulah mungkin dapat diterjemahkan menjadi sesuatu yang mungkin untuk memproduksi spectrometer bilangan prima. Namun, berbeda dengan Perelman, pembuktian yang coba dikemukakan De Branges (2004) atas Hipotetis Riemann disambut skeptis oleh rekan-rekannya sesama ahli matematika. "Bukti yang diumumkannya kurang komprehensif. Para ahli matematika tidak yakin sayembara itu akan dimenangkannya", ungkap Du Sautoy. Tetapi, Du Sautoy cepat-cepat mengingatkan, para matematikawan juga pernah bersikap yang sama di awal-awal sumbangannya yang terdahulu atas permasalahan matematika yang lain. Tetapi, belakangan, ilmuwan kelahiran Perancis itu terbukti benar. Tujuh Problem Matematika Pada 8 Agustus 1900, di depan peserta Kongres Matematika Internasional ke-2 di Paris, Perancis, ahli matematika David Hilbert menggelar kuliah umum yang sangat terkenal. Kuliahnya tentang problem-problem matematika terbuka. Seabad kemudian, terilhami dari kuliah itu, yayasan nirlaba The Clay Mathematics Institute (CMI) yang bermarkas di Cambridge, Massachusetts, Amerika, mencetuskan Sayembara Problem Milenium. Problem-problem matematika yang tak terpecahkan dipilih oleh sebuah Dewan Pertimbangan Ilmiah CMI. Ada tujuh problem matematika pada milenium ini yang menjadi tantangan bagi semua ahli matematika di dunia untuk membuat formulasinya. Barang siapa yang dapat mengungkap rahasia itu, tersedia hadiah US$ 1 juta. Ketujuh problem matematika itu: Dugaan Birch dan Swinnerton-Dyer: Geometri Euclid untuk abad ke-21, melibatkan apa yang disebut titik Abelian dan fungsi zeta serta jawaban-jawaban terbatas dan tidak terbatas untuk persamaan-persamaan aljabar. Poincare Conjecture: Permukaan sebuah apel saling tersambung secara sederhana. Tetapi, permukaan sebuah donat tidak. Bagaimana anda memulai dari ide konektivitas sederhana , lalu mengkarakterisasikan ruang dalam tiga dimensi ? Persamaan Navier-Stokes: Jawaban bagi turbulensi gelombang dan angin terletak di suatu tempat dalam pemecahan persamaan ini. P versus NP: Beberapa persoalan terlalu besar: Anda dapat dengan cepat membuktikan kebenaran sebuah jawaban yang memang benar, tetapi mungkin akan butuh seumur jagat raya apabila harus memecahkannya dari awal. Dapatkah Anda membuktikan pertanyaan mana yang paling berat dan mana yang tidak ? Hipotesis Riemann: Melibatkan fungsi-fungsi zeta, dan sebuah penekanan bahwa seluruh solusi "menarik" dari sebuah persamaan terdapat pada sebuah (persamaan) garis lurus. Dugaan Hodge: Di tepian batas antara aljabar dan geometri, melibatkan persoalan teknis dari bentuk-bentuk bangunan dengan merekatkan blok-blok geometric secara bersamaan. Yang-Mills dan Selisih Massa: Sebuah persoalan yang melibatkan mekanika kuantum dan partikel-partikel dasar. Para ahli fisika menyadari, komputer dapat mensimulasikannya, tetapi belum seorang pun yang telah menemukan teori untuk menerangkannya. Sumber : Koran Tempo (8 September 2004)